Compito di algebra lineare del 14 gennaio 2016 / 2

Esercizio 2

Si considerino le matrici A, B, C

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& k-3\end{array}\right]$ $C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2k-2& 1\end{array}\right]$

1. si stabilisca per quale valore di k∈ℝ le matrici A, B, C sono linearmente dipendenti nello spazio vettoriale delle matrici 2x2
2. Per il valore trovato in (1) esprimere B come combinazione lineare di A e C
3. Per il valore trovato in (1) determinare la dimensione del sottospazio vettoriale generato da A, B, C

Le tre matrici sono linearmente dipendenti se xA+yB+zC = 0 per x, y, z diversi da zero.

La soluzione è il risultato del sistema

1) a+2b=0

2) a+2b+c = 0

3) 2a+4b+2kc-2c = 0

4) -a+bk-3b+c = 0

5) da 1) e 2) si ottiene che c = 0

6) da 4) si ottiene che a = b(k-3) e da 1) si ottiene che a = -2b, quindi (k-3) = -2 e k = 1

⇒ k = 1

Noto questo, si possono scrivere le matrici con questa forma:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right]$ $\mathrm{B\text{'}}=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& -2\end{array}\right]$ $\mathrm{C\text{'}}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$

⇒

$\mathrm{B\text{'}}=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& -2\end{array}\right]=2A$

Dal momento che A e C sono linearmente indipendenti (il det. della prima è -3, quello della seconda è 0), la dimensione del sottospazio è 2.