Compito di algebra lineare del 14 gennaio 2016 / 1

Esercizio 1

1. Si verifichi se l'insieme {(3,0,-1), (2,-2,0), (-1,1,1)} è una base dello spazio vettoriale ℝ³ sul campo ℝ
2. Sia P il vettore di coordiate (1,1,1) rispetto alla base canonica. Si determinino le coordinate di P rispetto alla base del punto a

Soluzione

L'insieme è una base di ℝ³ sul campo ℝ se, dati tre vettori corrispondenti c₁ = (3,0,-1), c₂ = (2,-2,0), c₃ = (-1,1,1), i tre vettori sono linearmente indipendenti.

Sono linearmente dipendenti se esistono tre scalari non nulli s₁, s₂ , s₃ tali che s₁c₁+s₂c₂+s₃c₃ = 0.

Se esistono, gli scalari sono il risultato di questo sistema:

a) 3s₁+2s₂-s₃=0

b) -2s₂+s₃=0

c) -s₁+s₃=0

d) per c) si ha che s₁=s₃

e) per b) si ha che s₃= 2s₂

f) sostituendo in a) s₁ e s₃ si ottiene che l'unica soluzione è che tutti s₁, s₂ , s₃ siano zero.

⇒ 1. i vettori sono linearmente indipendenti

Punto chiave: è una base se i vettori sono linearmente indipendenti, cioè se non ci sono scalari <> 0 per cui la somma dei vettori sia zero

La matrice della trasformazione lineare rispetto alle basi suddette è la seguente:

$\left[\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 0& -2& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right]$

quindi per trovare le coordinate di P rispetto ad a bisogna risolvere il seguente sistema:

$\left[\begin{array}{ccc}3& 2& -1\\ 0& -2& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

quindi applico Gauss a:

$\left[\begin{array}{cccc}3& 2& -1& 1\\ 0& -2& 1& 1\\ -1& 0& 1& 1\end{array}\right]$

Sommo 1/3 della prima riga alla terza:

$\left[\begin{array}{cccc}3& 2& -1& 1\\ 0& -2& 1& 1\\ 0& \frac{2}{3}& \frac{2}{3}& \frac{4}{3}\end{array}\right]$

Sommo 1/3 della seconda riga alla terza:

$\left[\begin{array}{cccc}3& 2& -1& 1\\ 0& -2& 1& 1\\ 0& 0& 1& \frac{5}{3}\end{array}\right]$

Ottengo che:

z = 5/3 (immediato)

$-2y+z=1\Rightarrow y=\frac{z-1}{2}=\frac{\frac{5}{3}-1}{2}=\frac{2}{3}·\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$

3x + 2y - z = 1 ⇒ 3x = -2 · 1/3 + 5/3 + 1 ⇒ 3x = 2 ⇒ x = 2/3

Punto chiave: la matrice di trasformazione lineare è data dalle tre coordinate in "verticale" in una matrice, affiancate dalle coordinate del punto