Compito di algebra lineare 25/05/2015 / 5

Esercizio 5

Ricordiamo che ℤ₇ è il campo delle classi resto modulo 7. Si risolva il seguente sistema di equazioni lineari a coefficienti in ℤ₇ in tre incognite nel campo ℤ₇:

$\{\begin{array}{c}x+y+z=0\\ 4x+z=1\\ y+2z=-2\end{array}$

Utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss o di Cramer (in ogni caso dettagliando ciascun passaggio)

Soluzione

Portare il sistema a matrice:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 4& 0& 1& 1\\ 0& 1& 2& -2\end{array}\right]$

R₂ ↔ R₃

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 2& -2\\ 4& 0& 1& 1\end{array}\right]$

R₃ → R₃ - 4R₁

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 2& -2\\ 0& -4& -3& 1\end{array}\right]$

R₃ → R₃ + 4R₂

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 2& -2\\ 0& 0& 5& -7\end{array}\right]$

R₃ → R₃ / 5R₃

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& 2& -2\\ 0& 0& 1& \mathrm{-7/5}\end{array}\right]$

z = -7/5 (immediato)

y = -2z+2 = 24/5

x = -y -z = (-24+7)/5 = -17/5