RO: prova intermedia 2015-2016 / 1

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Tema

Con l'avvicinarsi delle festività natalizie la pasticceria Tànalo deve preparare cioccolate di 2 tipi (tipo I e tipo II). Inoltre ciascun tipo di cioccolata viene prodotto con 4 qualità diverse, a seconda della percentuale di burro di cacao presente. La produzione viene pianificata sulla base delle informazioni relative agli anni precedenti, riassunte come segue:

  • la quantità complessiva delle qualità 1 e 2 delle due cioccolate, deve essere non inferiore alla quantità complessiva delle qualità 3 e 4 delle due cioccolate;
  • la somma delle (quantità di) qualità 1 e 2 del cioccolato I, non può essere inferiore alla somma delle (quantità di) qualità 3 delle cioccolate I e II;
  • la quantità complessiva di cioccolato prodotta deve essere compresa tra i 600 Kg ed i 750 Kg;
  • in base a vincoli sulla disponibilità di materie prime, la pasticceria deve anche rispettare una ed una soltanto delle seguenti limitazioni:
    • la quantità della qualità 1 per il cioccolato di tipo I, non può superare la quantità della qualità 1 del cioccolato di tipo II;
    • la quantità della qualità 4 per il cioccolato di tipo I, non può superare la quantità della qualità 4 del cioccolato di tipo II;
  • se si produce la qualità j (j ∈ {1, 2, 3, 4}) del cioccolatino i (i ∈ {1, 2}), allora bisogna pagare un costo di acquisizione di un nuovo macchinario, pari a 260 Euro.

Sapendo che ogni Kg di cioccolatini del tipo I costa 9 Euro ed ogni Kg di cioccolatini del tipo II costa 10 Euro, formulare un modello di PL/PLI per la minimizzazione dei costi, dal quale si desuma la quantità di cioccolato di ciascun tipo e ciascuna qualità da produrre.

Svolgimento

La pasticceria produce due prodotti (Prod1, Prod2), ciascuno ha quattro percentuali di burro di cacao (Perc1, Perc2, Perc3, Perc4). I prodotti si possono indicare come xi, j, in cui i indica il prodotto e j la percentuale di burro di cacao

Perc1 Perc2 Perc3 Perc4
Prod1 x1, 1 x1, 2 x1, 3 x1, 4
Prod2 x2, 1 x2, 2 x2, 3 x2, 4

la quantità complessiva delle qualità 1 e 2 delle due cioccolate, deve essere non inferiore alla quantità complessiva delle qualità 3 e 4 delle due cioccolate:

Perc1 Perc2 Perc3 Perc4
Prod1 x1, 1 x1, 2 x1, 3 x1, 4
Prod2 x2, 1 x2, 2 x2, 3 x2, 4

Il vincolo si esprime con x1, 1 + x1, 2 + x2, 1 + x2, 2 >= x1, 3 + x1, 4 + x2, 3 + x2, 4

la somma delle (quantità di) qualità 1 e 2 del cioccolato I, non può essere inferiore alla somma delle (quantità di) qualità 3 delle cioccolate I e II;

Perc1 Perc2 Perc3 Perc4
Prod1 x1, 1 x1, 2 x1, 3 x1, 4
Prod2 x2, 1 x2, 2 x2, 3 x2, 4

Il vincolo si esprime con x1, 1 + x1, 2 >= x1, 3 + x2, 3

la quantità complessiva di cioccolato prodotta deve essere compresa tra i 600 Kg ed i 750 Kg

Il vincolo si esprime con 600 Kg <= Peso(x1, 1 + x1, 2 + x2, 1 + x2, 2 + x1, 3 + x1, 4 + x2, 3 + x2, 4) <= 750 Kg

in base a vincoli sulla disponibilità di materie prime, la pasticceria deve anche rispettare una ed una soltanto delle seguenti limitazioni:

  • la quantità della qualità 1 per il cioccolato di tipo I, non può superare la quantità della qualità 1 del cioccolato di tipo II;
  • la quantità della qualità 4 per il cioccolato di tipo I, non può superare la quantità della qualità 4 del cioccolato di tipo II;

Il vincolo si esprime con ((x1, 1 < x1, 2) ⋃ (x1, 4 < x2, 4)) ¬ ((x1, 1 < x1, 2) ∩ (x1, 4 < x2, 4))

se si produce la qualità j (j ∈ {1, 2, 3, 4}) del cioccolatino i (i ∈ {1, 2}), allora bisogna pagare un costo di acquisizione di un nuovo macchinario, pari a 260 Euro.

In questo caso creiamo una variabile on/off, che vale 1 se il prodotto è uno di quelli "nuovi" e 0 se non lo è:
yi, j, dove anche in questo caso i è il tipo di prodotto e j la quantità di burro di cacao.

yi, j vale 1 se i ∈ {1, 2} e j ∈ {1, 2, 3, 4}, zero altrimenti.

min 9(x1, 1 + x1, 2 + x1, 3 + x1, 4) + 10(x2, 1 + x2, 2 + x2, 3 + x2, 4) + 260(x1, 1 + x1, 2 + x2, 1 + x2, 2 + x1, 3 + x1, 4 + x2, 3 + x2, 4)

forma abbreviata:

9Σj=14x1,j+10Σj=14x2,j+260Σi=12Σj=14yi,j