Calcolo dei limiti - esercizio semplice

$\underset{x\to -5}{\lim }\frac{x^2+3x-10}{x^2-25}$

-5 (in valore del limite) non fa parte del dominio della funzione, perché il denominatore sarebbe zero. Inoltre a -5 anche il numeratore è 0, quindi la funzione assume la forma indeterminata 0/0.

Il primo passaggio consiste nel trovare gli zeri del numeratore, cioè i valori di x per cui x²+3x-10 vale zero.
Usando la formula apposita

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Troviamo

$$x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4*1*-10}}{2*1}=\frac{-3\pm \sqrt{49}}{2}=\mathrm{-5},\mathrm{+2}$$

Quindi la scomposizione di x²+3x-10 è (x+5)*(x-2)

La scomposizione di x²-25 è più semplice: senza fare troppi conti è (x+5)*(x-5).

A questo punto si ottiene

$\underset{x\to -5}{\lim }\frac{\left(x+5\right)\left(x-2\right)}{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}$

Possiamo semplificare x+5 al numeratore e al denominatore e otteniamo (x-2) / (x-5). Sostituendo -5 al posto di x otteniamo 7/10, che è esattamente il valore del limite a -5 della funzione. ∎