Calcolo dei limiti - esercizio medio

$\underset{x\to \mathrm{-\infty }}{\lim }x+\sqrt{x^2+2}$

intuitivamente, se il limite di x tende a -∞ e il limite di √x² tende a +∞, i due termini tendono ad annullarsi e il limite è zero, ma sotto radice c'è quel +2 che rovina i piani. Siccome 2 è una costante, dovrebbe contare sempre meno nel limite, ma allora il limite qual è? E possiamo dimostrarlo?

Dobbiamo riuscire a separare x² da +2, ma come? La risposta è che raccogliamo x²!

Ovviamente l'obiezione che verrebbe da fare è che uno dei due termini ha x², ma l'altro no, e allora cosa raccogliamo? Qui serve una piccola magia.

Normalmente siamo abituati a semplificare il più possibile un'espressione, ma qui dobbiamo riflettere sul fatto che

$2=\frac{2x^2}{x^2}$

Se riscriviamo il limite come

$\underset{x\to \mathrm{-\infty }}{\lim }x+\sqrt{x^2+\frac{2x^2}{x^2}}$

ecco che possiamo raccogliere il x² come volevamo:

$\underset{x\to \mathrm{-\infty }}{\lim }x+\sqrt{x^2(1+\frac{2}{x^2})}$

applichiamo la regola che ci permette di "separare" due termini di un prodotto sotto radice:

$\underset{x\to \mathrm{-\infty }}{\lim }x+\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}$

Al (de)crescere di x, la seconda radice tende a 1, che moltiplica un x sempre positivo (infatti √x² è uguale a |x|, cioè al valore assoluto di x).

In pratica, ci siamo sbarazzati, nel limite, del "+2" e abbiamo dimostrato che il limite è quindi zero. ∎