Algebra lineare – l’inizio – Diario di Marco Pagnin

Sarò strano, ma non mi semrba che i primi paragrafi di AL siano particolarmente difficili.

Table of Contents

Campo

Un campo è una quintupla(1) (X, +, -, ·, 0, ^-1, 1) dove X è un insieme, + e · sono operazioni binarie, -, ^-1 sono operazioni unarie e 0, 1 costanti che soddisfano le seguenti equazioni.

Proprietà associativa: x+(y+z) = (x+y)+x e x·(y·z) = (x·y)·z
Proprietà commutativa: x+y = y+x e x·y = y·x
Elementi neutri: x+0 = x e x·1 = x
Proprietà distributiva: x·(y+z) = x·y + x·z
Opposto: x+(-x) = 0
Inverso: x·x^-1 = 1
Prodotto per zero: x·0 = 0

Sono sempre i soliti concetti!
ℕ non è un campo, perché non vale l'opposto né l'inverso, fatta eccezione per 1. Se poi si considera ℕ ∩ 0 = ∅, allora non c'è l'elemento neutro per la somma né il prodotto per zero.
ℤ ha qualcosa in più ma non è ancora un campo.
ℚ è un campo.
ℝ è un campo, ma i soli irrazionali ℝ\ℚ no, poiché, per esempio π / π = 1, che è razionale.

Spazio vettoriale

I vettori possono essere un vero casino, a meno di non tenere a mente un paragone con un'applicazione pratica delle definizioni.

Il vettore si può immaginare come una forza applicata a un oggetto. Per esempio, un cavallo che traina un carretto è una buona metafora per un vettore (la forza che esercita il cavallo per trainare il carretto), per la direzione del vettore (la direzione verso cui il cavallo tira) e per l'applicazione del vettore (il "punto di partenza" del vettore è il carretto).

Uno scalare si può immaginare come uno "zoom" avanti o indietro. Se vado avanti, vedo il vettore più grande, indietro più piccolo. Lo scalare non cambia la direzione.

In generale, un vettore può essere rappresentato da una serie di numeri. Se osservo dall'alto il famoso cavallo, posso rappresentare il vettore in uno spazio bidimensionale, e dire, per esempio "il cavallo traina il carretto verso nord-ovest con una forza 2,3 N". Se osservo due uccelli contendersi un pezzo di pane, non sono più sufficienti due dimensioni, perché potrebbero esercitare sul pane una forza verso nord-sud, est-ovest ma anche alto-basso.

Somme di vettori

Per sommare due vettori immaginiamo due scenari semplici. Un carretto, stavolta trainato da due cavalli, che tirano nella stessa direzione con la stessa forza, per esempio 2,3 N.

Trainando nella stessa direzione, la forza esercitata è 2,3 N + 2,3 N = 4,6 N.

Se trainassero invece in direzione opposta, la forza sarebbe 2,3 N - 2,3 N = 0. In pratica, il carretto starebbe fermo.

E se invece trainassero uno verso nord e l'altro verso est?

Il risultato è che andrebbero verso nord-est, come è intuibile, ma con che forza?

Come si vede dal disegno (pietà, è fatto con paint!) la forza sarebbe maggiore del singolo vettore, ma minore della somma. In questo caso particolare, siccome la forza con cui i cavalli trainano è esattamente a 90° ed è esattamente uguale, si può applicare il teorema di Pitagora in questa maniera:

$V = \sqrt{{2,3}^{2} + {2,3}^{2}} ≃ 3,2526...$

Siccome abbiamo disegnato un quadrato, e la diagonale di un quadrato di lato 1 è circa 1,41, sarebbe bastato anche moltiplicare per √2 il numero 2,3.

Per identificare il punto "finale" del vettore risultante (quello in rosso, nel disegno), basta sommare una a una le dimensioni del primo e del secondo vettore.

Per esempio, il primo (orizzontale) potrebbe iniziare in P₀ = (5, 4) e finire in P₁ = (7.3, 4), mentre il secondo inizia sempre in P₀ = (5, 4) e termina in P₁ = (5, 6.3). Il vettore risultante inizia quindi in P₀ = (5, 4) e finisce in P₁ = ((5 + (7.3-5)), 4 + (6.3-4)) e quindi in P₁ = (7.3, 6.3).

Possiamo capire quindi che il punto iniziale potrebbe non essere P₀ = (0, 0), ma un punto qualunque. I calcoli diventano un po' più complicati ma il risultato non cambia.

Per sapere la lunghezza del vettore, basta "togliere" la base, cioè "normalizzare" il vettore in P₀ = (0, 0) e applicare il teorema di Pitagora.

Prodotto vettoriale

Con il prodotto vettoriale finalmente le cose si complicano un po'.

Il prodotto tra due vettori restituisce un terzo vettore perpendicolare agli altri due. Come è possibile?

Perché due vettori (con direzioni diverse) definiscono un piano, quindi un vettore perpendicolare al piano è perpendicolare anche ai due vettori.

La cosa poco intuitiva è che mentre i due vettori definiscono uno spazio ℝ²- cioè uno spazio in cui ogni punto corrisponde a una coppia di numeri reali - il vettore risultante va in una terza direzione e "usa" solo quella.

Un'altra cosa poco intuitiva è che il prodotto vettoriale definisce una superficie pari all'area del parallelogramma definito dai due vettori:

Due vettori (mancano le frecce di direzione)

La SOMMA di due vettori è la diagonale del relativo parallelogramma

Il PRODOTTO è un vettore che ha lunghezza pari alla superficie del parallelogramma

L'aspetto un po' destabilizzante è che dal punto di vista fisico, la superficie del parallelogramma corrisponde a una lunghezza e che questa lunghezza ha una direzione perpendicolare al piano su cui giacciono i due vettori.

Un approccio matematico

Per calcolare questa area è possibile usare lo strumento del calcolo a matrice in questo modo.

Chiamiamo i due vettori da moltiplicare V = (V₁, V₂, V₃) e W = (W₁, W₂, W₃) e il vettore risultante R = (i, j, k).

Nel paragrafo precedente parlavo di un piano, e il piano più semplice da immaginare è quello in cui la coordinata "z" (nei disegni, quella che identifica alto/basso) è immaginata sempre a zero. In realtà i due vettori potrebbero essere su un piano inclinato rispetto al sistema di riferimento, ed è per questo che devono essere identificati da tre coordinate e non due.

Nel caso di una matrice di dimensione 3x3, il prodotto vettoriale si può scrivere in questo modo (regola di Sarrus):