La lezione 8 ha riguardato:
- Esempi di limiti
- Teoremi sulle successioni monotòne
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Esempi di limiti
- f non è continua in zero
- 0 è asintoto verticale
- f(x) non ha né minimo né massimo e non è limitato perché non è continuo in zero (ha asintoto ma non limite)
- i teoremi dei valori intermedi e di Weierstraß necessitano di una funzione continua, quindi non sono applicabili
Successioni
Una successione si dice strettamente crescente (o decrescente o non decrescente o non crescente) se xn<xn+1 ∀ n∈ℕ (o xn>xn+1 o xn≤xn+1 o xn≥xn+1)
TEOREMA: ogni successione monotòna ammette limite; in particolare ogni successione strettamente monotòna ammette un limite finito.
DIMOSTRAZIONE: sia {Xn} successione, con n∈ℕ; monotona, non decrescente.
Se la successione non è limitata, esiste almeno un Xn>M, ∀ M∈ℝ
Ma per k>m si ha Xk≥Xn>M, quindi Xn→+∞
Se la successione ha limite, |Xn|≤C ∀ n∈ℕ, quindi Xn→C
Funzione inversa di una funzione monotona
Sia f:I→ℝ funzione strettamente monotona in I⊆ℝ
Posto J=f(I), possiamo costruire f-1:J→I strettamente monotona.
Siccome f è continua anche f-1 è continua.
ATTENZIONE: Non è detto che si possa fare f-1:ℝ→A
Esempio:
sia f:[-π/2, +π/2]→[-1, 1], f(x) = sin(x)
Nel dominio specificato, la funzione è monotona crescente continua biiettiva e quindi invertibile.
La funzione inversa è f:[-1, 1]→[-π/2, +π/2], f(x) = arcsin(x)
