2. Funzioni

La lezione 2 ha riguardato:

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Dati A, B insiemi, si definisce prodotto cartesiano l'insieme di coppie a, b con a ∈ A e b ∈ B.
AxB = {(a,b)|a∈A, b∈B}

Il prodotto cartesiano NON è commutativo, quindi AxB ≠ BxA.

Il prodotto cartesiano ℝxℝ è assimilabile a un piano (piano cartesiano), allo stesso modo in cui ℝ è assimilabile a una retta.

Il prodotto cartesiano ℝxℝ è detto anche ℝ².

ℝxℝxℝ è detto anche ℝ³ ed è un prodotto assimilabile a uno spazio tridimensionale.

Data una coppia di insiemi X, Y la funzione, denotata come
f:x→y
è una legge che associa a ogni elemento x∈X uno e un solo elemento y∈Y.

Gli insiemi X e Y sono detti rispettivamente dominio e codominio della funzione.

L'elemento y oppure f(x) è detto immagine di x tramite f.

L'insieme {f(x)|x∈X}⊆Y si dice immagine di X tramite f.
Si denota anche come f(X).

Il grafico della funzione è un piano in cui l'asse orizzontale (ascisse) rappresenta il numero x e l'asse delle ordinate rappresenta il numero y.

Si dice iniettiva una funzione f:x→y se dati x₁, x₂ ∈ X | f(x₁) = f(x₂) allora x₁ = x₂.

In pratica, a uno stesso valore y∈Y deve corrispondere un solo valore x∈X.

Esempio 1:
f:ℝ→ℝ
x→x²
NON è iniettiva, poiché y=4 si ha sia con x=2 sia con x=-2

Esempio 2:
f:ℝ→ℝ
x→x³
È iniettiva, poiché y=8 si ha sia solo con x=2, mentre con x=2 y=-8

Esempio 3:
f:ℝ→ℝ⁺
x→x²
È iniettiva, poiché il codominio riguarda solo i numeri reali positivi.

Esempio 4:
f:ℝ→ℝ
x→ax+b, a≠0
È iniettiva, poiché è l'equazione di una retta non "orizzontale" (il coefficiente angolare è diverso da zero)

f:x→y si dice suriettiva se ∀ y∈Y, ∃ x∈X | f(x)=y

In pratica, immagine di X tramite f è l'intero insieme Y.

Esempio 1:
f:ℝ→ℝ
x→x²
NON è suriettiva, poiché non esiste un x∈X | y < 0

Esempio 2:
f:ℝ→ℝ
x→x³
È suriettiva, poiché ∀ y∈Y ∃ x∈X | f(x) = y
(anche per y < 0)

Se una funzione è sia iniettiva sia suriettiva allora è anche biiettiva (o univoca).

Due funzioni sono uguali solo se hanno la stessa legge, lo stesso dominio e lo stesso codominio.

Data una funzione f:x→y con x∈X e y∈Y, si dice anti immagine di (a,b) un insieme Z tale che Z⊆Y e Z={z∈Z|f(x)∈Z}

La funzione:
f(x)={
1 se x=0
2x se x>0
-2x+z se x<0
}

in ℝ→ℝ non è iniettiva, poiché f(0) = f(&fract12;) e non è suriettiva, poiché non copre la parte negativa di ℝ

in ℤ→ℕ è iniettiva, poiché:

Per la (2) con x>0 f(x) è pari, quindi non si sovrappone con (3), né con (1) poiché x>0 in senso stretto
Per la (3) con xf(x) è dispari, quindi non si sovrappone né con (2) né con (1)

dim
dati f(x₁)=f(x₂)
se x₁ < 1 ⇒ f(x₂) = -2x₂+1 = 2x₁ ⇒ 2x₂+2x₁=1 ⇒ 2(x₁+x₂)=1 che non è possibile perché x non sarebbe intero e il dominio è ℤ